Arithmetic Notes with Solved Questions for Bihar Librarian Exam
यह अध्याय बिहार पुस्तकालय अध्यक्ष परीक्षा (Bihar Librarian Exam) के लिए अंकगणित (Arithmetic) के सभी महत्वपूर्ण सिद्धांतों, नियमों, सूत्रों और परीक्षा-उपयोगी प्रश्नों (Q&A) का एक संपूर्ण अध्ययन सामग्री है।
1. Number System: Classification & Divisibility Rules (संख्या पद्धति एवं भाज्यता)
Number System गणित का आधार है। संख्याओं का वर्गीकरण: Natural Numbers (1, 2, 3...), Whole Numbers (0, 1, 2...), Integers (...-2, -1, 0, 1, 2...), Rational Numbers (p/q रूप, जहां q ≠ 0), और Prime Numbers (जिसके केवल 2 गुणनखंड हों: 1 और स्वयं)। Divisibility Rules द्वारा गणना को तेज किया जा सकता है: 3 और 9 के लिए अंकों का योग विभाजित होना चाहिए; 4 के लिए अंतिम दो अंक और 8 के लिए अंतिम तीन अंक विभाजित होने चाहिए। 11 से भाज्यता के लिए विषम और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।
प्रश्न 1: यदि संख्या 78x3945 पूरी तरह से 11 से विभाजित है, तो x का मान क्या होगा?
हल: विषम स्थानों का योग = 7 + x + 9 + 5 = 21 + x। सम स्थानों का योग = 8 + 3 + 4 = 15। अंतर = (21 + x) - 15 = 6 + x। 11 से विभाज्य होने के लिए 6 + x = 11, अतः x = 5।
प्रश्न 2: 20 और 50 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएं (Prime Numbers) हैं?
हल: इस सीमा की अभाज्य संख्याएं: 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47। कुल संख्या = 7।
Key Point
Divisibility by 11 Rule: विषम (Odd) और सम (Even) स्थानों के योग का अंतर (Difference) 0 या 11 का Multiple होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, 20 से 50 के बीच कुल 7 Prime Numbers होते हैं।
2. Unit Digit Calculation & Series Formulas (इकाई का अंक एवं श्रेणी सूत्र)
Unit Digit की Cyclicity 4 घात (Power) के बाद खुद को दोहराती है। दी गई घातांक (Exponent) को 4 से भाग दें और शेषफल (Remainder) को नई पावर बनाएं। यदि शेषफल 0 आए, तो पावर 4 लें। प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग = [n(n+1)] / 2 होता है। प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n² और प्रथम n सम संख्याओं का योग = n(n+1) होता है।
प्रश्न 1: (256)²⁷ × (143)³⁴ के गुणनफल में इकाई का अंक ज्ञात कीजिए।
हल: 256 का आधार इकाई अंक 6 है। 6 की कोई भी पावर का इकाई अंक 6 ही रहता है। 143 के लिए इकाई अंक 3 है, घात 34 को 4 से भाग देने पर शेषफल = 2 आता है, अतः 3² = 9। गुणनफल का इकाई अंक = 6 × 9 = 54, अर्थात इकाई अंक 4 है।
प्रश्न 2: 1 से 50 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल: सूत्र [n(n+1)] / 2 से (जहां n = 50): (50 × 51) / 2 = 25 × 51 = 1275।
प्रश्न 3: 1056 में न्यूनतम कौन सी संख्या जोड़ी जाए ताकि यह 23 से पूरी तरह विभाजित हो जाए?
हल: 1056 ÷ 23 करने पर भागफल 45 और शेषफल 21 बचता है। जोड़ी जाने वाली आवश्यक संख्या = भाजक - शेषफल = 23 - 21 = 2।
3. Percentage: Concepts & Applications (प्रतिशतता के सिद्धांत)
Percentage का अर्थ है "प्रति सौ"। भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए 100 से गुणा करें तथा प्रतिशत को भिन्न में बदलने के लिए 100 से भाग दें। मानक भिन्न मान: 1/2 = 50%, 1/3 = 33.33%, 1/4 = 25%, 1/5 = 20%, 1/6 = 16.66%, 1/8 = 12.5%। Successive Percentage Change के लिए सूत्र = A + B + (AB/100) का उपयोग किया जाता है। यदि मूल्य में R% की वृद्धि होती है, तो खपत में कटौती% = [R / (100 + R)] × 100 होती है।
प्रश्न 1: यदि A का वेतन B के वेतन से 25% अधिक है, तो B का वेतन A के वेतन से कितने प्रतिशत कम है?
हल: माना B = 100, तो A = 125। B, A से 25 कम है। कमी प्रतिशत = (25 / 125) × 100 = 20%।
प्रश्न 2: एक छात्र को उत्तीर्ण होने के लिए 40% अंक चाहिए। उसे 178 अंक मिले और वह 22 अंकों से अनुत्तीर्ण हो गया। अधिकतम अंक ज्ञात कीजिए।
हल: उत्तीर्ण अंक = 178 + 22 = 200। चूंकि 40% = 200, इसलिए 1% = 5। अतः अधिकतम अंक (100%) = 5 × 100 = 500।
प्रश्न 3: एक संख्या को पहले 20% बढ़ाया जाता है और फिर 20% घटाया जाता है। शुद्ध वृद्धि या कमी प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
हल: सूत्र A + B + (AB/100) का उपयोग करते हुए: 20 - 20 + [(20 × -20) / 100] = -4%। संख्या में 4% की कमी होगी।
Key Point
Price-Consumption Rule: मूल्य बढ़ने पर व्यय (Expenditure) समान रखने के लिए खपत में कमी का शार्टकट फार्मूला [R / (100 + R)] × 100 का प्रयोग करें। यदि किसी संख्या को समान प्रतिशत से बढ़ाया और घटाया जाए तो हमेशा कमी (Loss) ही होती है (X²/100)%।
4. Ratio and Proportion (अनुपात एवं समानुपात)
Ratio दो समान इकाइयों का भाग द्वारा तुलना है। Proportion दो अनुपातों की समानता है। यदि a:b = c:d है, तो a × d = b × c (चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल)। a और b के बीच Mean Proportional (माध्य समानुपाती) = √(ab) तथा Third Proportional (तृतीयानुपाती) = b²/a होता है।
प्रश्न 1: यदि A:B = 2:3 और B:C = 4:5 है, तो A:B:C ज्ञात कीजिए。
हल: B को समान करने के लिए A:B को 4 से और B:C को 3 से गुणा करें: A:B = 8:12 और B:C = 12:15। अतः A:B:C = 8:12:15।
प्रश्न 2: 9 और 64 के बीच माध्य समानुपाती (Mean Proportional) ज्ञात कीजिए。
हल: Mean Proportional = √(9 × 64) = 3 × 8 = 24।
प्रश्न 3: एक बॉक्स में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 4 : 5 : 6 के अनुपात में हैं। यदि कुल मूल्य ₹64 है, तो 50 पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए。
हल: मूल्य अनुपात = 4(1) : 5(0.50) : 6(0.25) = 4 : 2.5 : 1.5। योग = 8 इकाई। 8 इकाई = ₹64 → 1 इकाई = 8। 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 5 × 8 = 40 सिक्के।
5. Average Calculations & Speed Rules (औसत सिद्धांत)
Average = (सभी प्रेक्षणों का योग) / (कुल संख्या)। समानांतर श्रेणी (AP) या लगातार संख्याओं का औसत हमेशा मध्य पद या (प्रथम पद + अंतिम पद) / 2 होता है। नए सदस्य के आने या बदलने पर: नया मान = पुराना औसत + (सदस्यों की संख्या × औसत में परिवर्तन)। बराबर दूरी के लिए औसत चाल (Average Speed) = 2xy / (x + y) होती है।
प्रश्न 1: प्रथम 25 लगातार प्राकृतिक संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए。
हल: औसत = (प्रथम + अंतिम) / 2 = (1 + 25) / 2 = 13।
प्रश्न 2: 10 छात्रों की औसत आयु 15 वर्ष है। शिक्षक की आयु शामिल करने पर औसत 1 वर्ष बढ़ जाता है। शिक्षक की आयु ज्ञात कीजिए。
हल: नया मान = पुराना औसत + (नया कुल सदस्य × वृद्धि) = 15 + (11 × 1) = 26 वर्ष।
प्रश्न 3: एक व्यक्ति A से B तक 40 किमी/घंटा की गति से जाता है और 60 किमी/घंटा की गति से वापस आता है। पूरी यात्रा की औसत चाल ज्ञात कीजिए。
हल: औसत चाल = (2 × 40 × 60) / (40 + 60) = 4800 / 100 = 48 किमी/घंटा।
6. Profit, Loss, and Discount (लाभ, हानि एवं बट्टा)
Cost Price (CP) क्रय मूल्य है, Selling Price (SP) विक्रय मूल्य है, Marked Price (MP) अंकित मूल्य है। Profit = SP - CP, Loss = CP - SP। लाभ और हानि प्रतिशत हमेशा CP पर निकाले जाते हैं। Discount हमेशा MP पर दिया जाता है। बेईमान दुकानदार ट्रिक: लाभ % = [(सही वजन - गलत वजन) / गलत वजन] × 100।
प्रश्न 1: ₹540 में बेचने पर 10% की हानि होती है। 10% लाभ कमाने के लिए इसे किस मूल्य पर बेचा जाना चाहिए?
हल: 90% CP = 540 → 1% = 6 → CP = ₹600। 10% लाभ के लिए नया SP = 600 × 1.10 = ₹660।
प्रश्न 2: 20% और 10% की दो क्रमिक छूट (Successive Discounts) के समतुल्य एकल छूट ज्ञात कीजिए。
हल: कुल छूट = A + B - (AB/100) = 20 + 10 - (20 × 10)/100 = 30 - 2 = 28%।
प्रश्न 3: एक बेईमान व्यापारी लागत मूल्य पर माल बेचने का दावा करता है लेकिन 1 किलोग्राम के स्थान पर 900 ग्राम वजन का उपयोग करता है। लाभ % ज्ञात कीजिए。
हल: लाभ % = [(1000 - 900) / 900] × 100 = (100 / 900) × 100 = 11.11%।
Key Point
Successive Discount Short Trick: दो क्रमागत छूट A% और B% के लिए एकमुश्त समतुल्य छूट (Equivalent Discount) का मान A + B - (AB/100) होता है।
7. Simple and Compound Interest (साधारण एवं चक्रवृद्धि ब्याज)
Simple Interest (SI) केवल मूलधन पर लगता है और हर साल समान रहता है: SI = (P × R × T) / 100। Compound Interest (CI) ब्याज पर भी ब्याज लगता है: Amount = P(1 + R/100)^T। 2 वर्षों के लिए CI और SI का अंतर D = P(R/100)² होता है। 3 वर्षों के लिए अंतर D = P(R/100)² × [(300 + R)/100] होता है।
प्रश्न 1: साधारण ब्याज की किस दर से कोई धनराशि 8 वर्षों में दोगुनी हो जाएगी?
हल: धन दोगुना होने पर ब्याज (SI) = मूलधन (P)। P = (P × R × 8) / 100 → 1 = 8R / 100 → R = 12.5%।
प्रश्न 2: 2 वर्षों के लिए 10% प्रतिवर्ष की दर से किसी राशि पर CI और SI का अंतर ₹50 है। मूलधन ज्ञात कीजिए。
हल: 2-वर्ष के अंतर सूत्र से: 50 = P(10/100)² → 50 = P × (1/100) → P = ₹5000।
प्रश्न 3: चक्रवृद्धि ब्याज पर दी गई राशि 5 वर्षों में दोगुनी (2¹) हो जाती है। यह कितने वर्षों में 8 गुनी (2³) हो जाएगी?
हल: घात (Power) को वर्षों से गुणा करें: 5 वर्ष × 3 = 15 वर्ष।
8. Time and Work: Efficiency & Rules (समय और कार्य)
कुल कार्य (Total Work) = दक्षता (Efficiency) × समय (Time)। यदि A कार्य को x दिनों में कर सकता है, तो 1 दिन का कार्य = 1/x होगा। A और B मिलकर कार्य को (x × y) / (x + y) दिनों में समाप्त करते हैं। MDH नियम: (M₁D₁H₁) / W₁ = (M₂D₂H₂) / W₂ जहाँ M=व्यक्ति, D=दिन, H=घंटे, W=कार्य है।
प्रश्न 1: A एक काम 10 दिनों में और B 15 दिनों में कर सकता है। वे मिलकर इसे कितने दिनों में पूरा करेंगे?
हल: मिलकर समय = (10 × 15) / (10 + 15) = 150 / 25 = 6 दिन।
प्रश्न 2: 12 पुरुष एक काम को 8 दिनों में पूरा करते हैं। 16 पुरुष उसी काम को कितने दिनों में करेंगे?
हल: M₁D₁ = M₂D₂ सूत्र से: 12 × 8 = 16 × D₂ → D₂ = 96 / 16 = 6 दिन।
प्रश्न 3: नल A एक टंकी को 6 घंटे में भर सकता है और नल B इसे 9 घंटे में खाली कर सकता है। दोनों नल खोलने पर टंकी कितने समय में भरेगी?
हल: 1 घंटे का कार्य = 1/6 - 1/9 = (3 - 2) / 18 = 1/18। अतः पूरी टंकी 18 घंटे में भरेगी।
9. Time, Speed, and Distance (समय, चाल और दूरी)
Distance = Speed × Time। इकाई रूपांतरण: km/h को m/s में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें; m/s को km/h में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करें। Relative Speed: विपरीत दिशा में चलने पर चालें जुड़ती हैं (S₁ + S₂); समान दिशा में चलने पर घटती हैं (S₁ - S₂)। ट्रेन द्वारा खंभे को पार करने में तय दूरी = ट्रेन की लंबाई। प्लेटफार्म को पार करने में तय दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफार्म की लंबाई। शांत जल में नाव की चाल = (Downstream + Upstream) / 2।
प्रश्न 1: 150 मीटर लंबी ट्रेन 9 सेकंड में एक टेलीग्राफ पोल को पार करती है। ट्रेन की चाल km/h में ज्ञात कीजिए。
हल: चाल = 150 / 9 m/s। km/h में बदलने पर: (150 / 9) × (18 / 5) = 30 × 2 = 60 km/h।
प्रश्न 2: 200 मीटर लंबी ट्रेन 60 किमी/घंटा की गति से चल रही है। 100 मीटर लंबे प्लेटफॉर्म को पार करने में कितना समय लगेगा?
हल: कुल दूरी = 200 + 100 = 300m। चाल m/s में = 60 × (5/18) = 50/3 m/s। समय = 300 / (50/3) = 300 × (3/50) = 18 सेकंड।
प्रश्न 3: एक नाव धारा के अनुकूल (Downstream) 14 किमी/घंटा और धारा के प्रतिकूल (Upstream) 8 किमी/घंटा चलती है। शांत जल में नाव की चाल ज्ञात कीजिए。
हल: नाव की चाल = (14 + 8) / 2 = 22 / 2 = 11 किमी/घंटा।